M이론과 관련된 최초의 완전한 장이론이라고 믿어지는 BL, 혹은 더 일반적인 ABJM이론의 의미는 지금까지는 아무래도 M이론이 얼마나 미묘할 수 있는지를 우리들로 하여금 다시 상기하도록 만드는 것이 아닐까. 2월 10일에 나온 버그만과 히라노의 논문 "AdS4/CFT3에 있어서의 이상한 반지름 이동(Anomalous radius shift in AdS4/CFT3"는 M-이론 물리와 수학에 새로운 대응성이 얼마나 좋은 연습문제, 혹은 놀이터가 될 수 있는지 잘 예시하는 논문이다. 이 짧은 논문의 요점은 M2-브레인의 숫자와 AdS4공간의 반지름 사이에 성립하는 대응 관계에 이상성(anomaly)가 있으며, 그것이 장론 계산의 2-룹 이상에서 영향을 미칠 수 있다는 것이다.
AdS5의 경우와 마찬가지로 AdS4와 ABJM이론 사이에는 AdS4의 곡률 반지름이 게이지 장론의 트후프트 결합 상수의 1/4제곱에 비례하는 관계가 존재한다. 초중력쪽에서 계산을 행하면 보통 곡률반지름의 제곱이 나오는데 (비선형 시그마 모델의 맨 앞에 R의 제곱이 곱해지는 것을 생각하면 이해가 쉽다.) 그것은 트후프트 결합 상수의 제곱근, 즉 양-밀즈 결합상수의 제곱이 아니라 그 자체에 비례하기 때문에 장론의 섭동적 계산으로는 절대 이해할 수 없는 경향인 것이다.
이 관계식은 사실 끈이론의 가장 기본적인 '근사'일 뿐인 초중력에서 얻은 것이지만, 일반적으로 항상 정확한 관계가 성립한다고 - 적어도 초대칭성이 최대인 예에서는 - 믿어져 왔다. 그에 대한 직간접적 증거가 많이 있음도 물론이다.
그런데 이 논문의 저자인 버그만과 히라노는 이 관계가 AdS/ABJM 대응성에서는 수정되어야 한다고 주장한다. 그들은 두 가지 보정항을 계산했는데, 항상 고려해야 하는 것이 오비홀드 특이점 - 혹은 그것을 규격화할 때 생기는 곡률 - 때문에 생기는 오일러 숫자에 의한 보정이고, 다른 하나는 S7/Zk 공간 안에 있는 k-호몰로지가 제공하는 토션의 존재에 의한 것이다. 후자는 게이지 그룹 두 개의 랭크를 다르게 할 경우와 관련이 있어서, 일단은 좀 부차적이라고 할 수 있다.
결과는 통상적인 트후프트 극한을 취할 때, 트후프트 결합 상수가 다음과 같이 쉬프트된다는 것이다.
여기서 N이 M2브레인의 갯수, k는 천-시몬즈 레벨이라고 하며 흔히 양-밀즈 결합상수 제곱의 역수가 전체 작용량에 곱해지듯이 ABJM이론에서 전체 작용량에 곱해지는 자연수이다. 제곱근 안에 1/24부터 시작하는 부분이 새로운 계산이다. 이것은 저자들도 언급했듯이 최근 엄청난 기술적인 발전이 이루어진 장론쪽 계산을 행할 때 고전역학적 양의 첫번째 양자론적 보정인 2-룹 계산을 할 때부터 영향이 나타나야 한다.
논문의 계산은 깔끔하지만 그야말로 M-이론에 응용되는 미분기학, 대수기하의 아주 아름다운 예라고 해야겠다. 대부분의 경우에 11차원 초중력을 생각할 때 아인슈타인-힐버트 항, M2/M5와 결합하는 게이지 장론의 운동에너지 항과 베스-주미노 삼차 결합항까지 고려하지만 그 게이지 장이 곡률의 고차항과 결합하는 것은 대부분 무시하고 나타내지 않는다. 그 형태는 3-form 포텐셜이 나머지 8차원 공간의 이른바 폰트리아진 클래스에 곱해지는 모양이다. 위 식에서 보면 k도 아주 커지는 극한을 취한다면 (트후프트 극한의 일부) 결국 -1/24가 남게 되는데 그것은 결국은 이 8차원 이상성 다항식이 8차원 공간의 오일러 수 곱하기 -1/24로 (컴팩트인 경우) 주어지기 때문이다. 정확한 값은 물론 k-1/k라는 것인데 이것은 복소 4차원의 칼라비-야우를 연구했던 다른 논문에서 인용한 것이 중요한 포인트. 하지만 T8/Zk의 몇 가지 예를 생각해서 위의 공식이 정확하다는 데 대한 확인을 했으니 충분하리라 보여진다.
토션이 있는 경우에 대해서는 특이점을 없앤 공간의메트릭을 구해서 좀 더 구체적인 계산. 하지만 IIA쪽으로 가서 D6를 프로브로 이용하면 계산 결과가 좀 다르다는 이야기도 하고 있어 앞으로 생각해볼 만한 일인 듯.
AdS5의 경우와 마찬가지로 AdS4와 ABJM이론 사이에는 AdS4의 곡률 반지름이 게이지 장론의 트후프트 결합 상수의 1/4제곱에 비례하는 관계가 존재한다. 초중력쪽에서 계산을 행하면 보통 곡률반지름의 제곱이 나오는데 (비선형 시그마 모델의 맨 앞에 R의 제곱이 곱해지는 것을 생각하면 이해가 쉽다.) 그것은 트후프트 결합 상수의 제곱근, 즉 양-밀즈 결합상수의 제곱이 아니라 그 자체에 비례하기 때문에 장론의 섭동적 계산으로는 절대 이해할 수 없는 경향인 것이다.
이 관계식은 사실 끈이론의 가장 기본적인 '근사'일 뿐인 초중력에서 얻은 것이지만, 일반적으로 항상 정확한 관계가 성립한다고 - 적어도 초대칭성이 최대인 예에서는 - 믿어져 왔다. 그에 대한 직간접적 증거가 많이 있음도 물론이다.
그런데 이 논문의 저자인 버그만과 히라노는 이 관계가 AdS/ABJM 대응성에서는 수정되어야 한다고 주장한다. 그들은 두 가지 보정항을 계산했는데, 항상 고려해야 하는 것이 오비홀드 특이점 - 혹은 그것을 규격화할 때 생기는 곡률 - 때문에 생기는 오일러 숫자에 의한 보정이고, 다른 하나는 S7/Zk 공간 안에 있는 k-호몰로지가 제공하는 토션의 존재에 의한 것이다. 후자는 게이지 그룹 두 개의 랭크를 다르게 할 경우와 관련이 있어서, 일단은 좀 부차적이라고 할 수 있다.
결과는 통상적인 트후프트 극한을 취할 때, 트후프트 결합 상수가 다음과 같이 쉬프트된다는 것이다.
논문의 계산은 깔끔하지만 그야말로 M-이론에 응용되는 미분기학, 대수기하의 아주 아름다운 예라고 해야겠다. 대부분의 경우에 11차원 초중력을 생각할 때 아인슈타인-힐버트 항, M2/M5와 결합하는 게이지 장론의 운동에너지 항과 베스-주미노 삼차 결합항까지 고려하지만 그 게이지 장이 곡률의 고차항과 결합하는 것은 대부분 무시하고 나타내지 않는다. 그 형태는 3-form 포텐셜이 나머지 8차원 공간의 이른바 폰트리아진 클래스에 곱해지는 모양이다. 위 식에서 보면 k도 아주 커지는 극한을 취한다면 (트후프트 극한의 일부) 결국 -1/24가 남게 되는데 그것은 결국은 이 8차원 이상성 다항식이 8차원 공간의 오일러 수 곱하기 -1/24로 (컴팩트인 경우) 주어지기 때문이다. 정확한 값은 물론 k-1/k라는 것인데 이것은 복소 4차원의 칼라비-야우를 연구했던 다른 논문에서 인용한 것이 중요한 포인트. 하지만 T8/Zk의 몇 가지 예를 생각해서 위의 공식이 정확하다는 데 대한 확인을 했으니 충분하리라 보여진다.
토션이 있는 경우에 대해서는 특이점을 없앤 공간의메트릭을 구해서 좀 더 구체적인 계산. 하지만 IIA쪽으로 가서 D6를 프로브로 이용하면 계산 결과가 좀 다르다는 이야기도 하고 있어 앞으로 생각해볼 만한 일인 듯.
