Horava-Lifshitz 중력

hep-th 아카이브를 보면 최근 호자바(Petr Horava)가 제안한 양자 중력 이론 이 많은 관심을 받고 있음을 눈치챌 수 있다. 이미 그의 중력 이론에 대한 기초적인 중력 해, 우주론 등이 몇몇 발 빠른 연구자들에 의해서 탐구되었다. 피터 호자바는 현재 미국 캘리포니아에 있는 버클리 대학의 교수. 그 위상에 비하면 논문이 '고작' 40편만 검색된다는 것은 놀랄 만한 과작이라고 해야겠다. 물론 지금까지의 대표 업적은 위튼과 함께 연구한 이른바 "Heterotic(이성질)-M" 이론으로, 두 편의 논문이 각각 1700, 1300여회씩 인용되었다.

현대 이론물리학자들이 아무리 들여다 보아도 깔끔하게 해결되지 않고 있는 문제는 “아인슈타인 중력과 양자 역학의 통합”이다. 우리 주위에서 일어나고 있는 보통의 사건들에서는 중력이 약해서 상관이 없지만, 만약 매우 무거운 물체 주위에 갔다거나 해서 중력의 영향이 엄청나게 커지면 그것을 기술하는 수학적인 이론이 무엇인지에 대한 답에는 아직 모든 이가 동의하고 있지 못하다. 물론 이 난점에는 강한 중력을 만들어 내 실험을 하는 것이 아직까지는 사실상 불가능하다는 이유가 있다.

중력이 양자화가 불가능하다는 것. 다시 말하면 지금 그대로의 아인슈타인 일반 상대론이 양자 역학적 레벨에서까지 근본적인 이론일 수 없다는 것은, 입자 물리학자들이라면 누구나 알고 있는 아주 간단한 규칙을 이용해서 확인할 수 있다. 양자장론에서는 이른바 결합상수의 차원을 조사하면 재규격화가 가능한지 아닌지, 즉 양자역학적으로 근본이론이 될 수 있는지 아닌지를 간단히 확인할 수 있는데, 중력의 결합 상수인 뉴턴 상수는 차원이 -2이기 때문에 – 흔히 물리학자들이 사용하는 약속에 따라 판단할 때 이 차원이 음수값이 아니어야 한다 – 재규격화가 불가능하다.

지금까지 가장 성공적인 양자 중력이라고, 가장 많은 수의 “현재 대학에 있는 이론물리학 교수들”이 주장하는 것은 이른바 초끈이론. 초끈에서는 초대칭성 때문에 다른 입자들도 중력에 부가해서 존재하며, 심지어 통상적 장론으로 표현이 불가능하다고 해야 할 “끈 자유도”들까지 존재하기 때문에 고에너지에서, 즉 양자역학적 영역에서의 중력이 전혀 달라진다.

이와 같이, 중력을 양자역학과 통합하려면 결국은 중력이 가지고 있는 중요한 성질 중 무엇인가를 고에너지에서 희생하지 않으면 안 된다는 것이 많은 사람들의 생각이라고 할 수 있다.

호자바의 아이디어는, 아인슈타인 이론의 아름다움에 심취한 기존의 중력 전공자들에게는 충격적일 수 있지만, 고에너지에서 로렌츠 대칭성이 사실은 깨져 있다는 가정으로부터 출발한다. 길잡이가 되는 중요한 인수는 바일 변환, 즉 시간과 공간의 척도를 바꾸는 경우 이론이 언제 불변하느냐는 것이다.

아인슈타인의 상대성 이론의 토대는 단 하나, 로렌츠 대칭성이라고 할 수 있는데, 물론 그에 의하면 시간과 공간은 근본적인 다른 점이 없다고 할 수 있다. 길이의 기본 단위를 1m로 하든, 1cm로 잡든 물리 법칙이 다름이 없을 것은 분명. 단지 로렌츠 대칭성은 만약 길이의 척도를 2배로 했다면 시간의 척도도 똑같이 2배로 해야 한다고 요구한다. 어떤 의미에서는 자연이 꼭 그와 같은 성질을 가질 이유는 없었지만, 아인슈타인 이론의 수학적 아름다움은 꼭 그것이 근본적 중요성을 가져야 할 것만 같은 생각을 모든 학생에게 심어 준다.

리프시츠(소련의 이론 물리학자로서 고체물리학에 대한 업적으로 유명) 이론은 장론적 입장에서는 단순히 시간과 공간의 스케일링 지수가 다른 이론이다. 작용량의 각 항에 시간에 대한 미분은 항상 둘이 나타나고, 공간에 대한 미분은 4번 나타난다면 (예를 들어 다음과 같이 다이버전스의 제곱)

위 이론은 당연히 로렌츠 대칭성이 깨졌을 것이며 “리프시츠 지수 z=2”가 된다. 장론적으로만 보면, 이것이 고에너지에서의 이론이고, 여기에 이론을 변형하기 위해 z=1 값을 가지는 항, 즉 공간 미분이 두 번만 나타나는 다음과 같은 항을 더해서 낮은 에너지에서 이 새로운 포텐셜 항의 영향이 주도적이라면, 로렌츠 대칭성은 낮은 에너지에서만 보이는 ‘우연한’ 대칭성이 될 것이다. 

3+1차원 중력의 경우에는 재규격화가 확실히 가능하게 하려면 z=3 이어야 한다. 그래야 전파인자가 고에너지에서 운동량의 -6제곱처럼 행동하고, 운동량 값에 대한 4차원 적분을 해도 유한한 값을 줄 수 있다.

이제 문제는 고에너지의 중력 이론으로서 시간과 공간을 섞는 로렌츠 대칭성이 없는, 즉 시간에 대한 미분과 공간에 대한 미분이 전혀 다르게 나타나는 3+1차원의 중력 이론, 다시 말하면 계량 텐서의 미분들을 포함하는 라그랑지 함수를 찾는 것이다.

물론, 스케일링 차원을 3으로 고정해도 이 선택에는 너무나 많은 가능성이 존재한다. 여기에서 약간 작위적으로 보일 수 있지만 가능한 고에너지 상호작용을 결정하기 위해 포텐셜 함수가 임계현상의 물리학에서 사용하는 것과 유사한 성질을 가지고 있다고 가정한다. 이것은 “detailed balance condition”으로, 작용량이 계량 텐서의 어떤 함수 W의 한 번 미분의 제곱 형태로 주어지는 것이니 초대칭성에 익숙하다면 초포텐셜과 비슷하다는 것을 금방 눈치챌 수 있다. 물론 보통의 초포텐셜은 복소수를 인수로 가지는 해석함수이고, 여기에서의 W는 실수값을 가지는 계량텐서의 함수이니, 근본적으로 다르다.

공간 3차원의 계량 텐서로 주어지면 미분이 세 번 들어간, 위에서의 W의 미분에 해당하는 E텐서에 딱 맞는 후보가 있으니 그것이 바로 코튼(Cotton) 텐서다.

코튼 텐서는 바일 텐서가 자동으로 0이 되는 3차원에서, 곡률이 등각 변환에 대한 부분을 제외하면 0인지 알려주는 역할을 해 준다. 다시 말하면 중력의 자유도가 사실상 없는 3차원에서 바일 텐서의 대용으로 사용할 수 있는 고차의 텐서인 것이다. 더 흥미로운 것은, 코튼 텐서가 3차원의 크리스토펠 심볼을 커넥션으로 사용하는 천-시몬즈 이론, 즉 3차원 위상 중력의 작용량에 대한 변분으로 주어진다는 것이다.

줄거리는 요약하면 이렇다. 고에너지에서 로렌츠 대칭성이 깨져 있는 고정점이 있다고 가정하며, 그 고정점에서의 3차원 공간 부분의 계량 텐서에 대한 포텐셜 함수가 “detailed balance condition”을 만족한다고 가정한다. 이 조건을 만족하는 좋은 텐서가 바로 Cotton 텐서. 이것이 바로 Horava-Lifshitz 중력인데, 끈이론의 2차 혁명 이후 끈이론 대응성에 입각한 새로운 입자현상론 유도에 큰 방향을 제시한 Horava-Witten 이론 이후 Horava는 다시 “자신의 이름이 붙은 이론”을 가지게 되었다. Horava-Lifshitz 중력은 로렌츠 대칭성이 깨진 4차원의 중력이며, 특히 공간 부분에 대해서는 6차 미분(!)항까지 가지고 있어 아주 복잡하다. (아래에서 K는 이른바 lapse, shift 함수 - 계량 텐서의 00, 0i 성분에 의해서 결정되는, 운동에너지 항이며, 2차 미분만 가지고 있다.)