지난 주 성균관대에서 열렸던 워크샵에서 구스타브슨이 발표했던 내용은 ABJM 모델이 천-시몬즈 레벨 1,2 인 경우 어떻게 최대의 초대칭성 구조를 가지는지 설명하는 것이었다. 일단 내용 자체가 기술적이기도 하고, 또 구스타브슨의 화법이 청중에게 잘 전달될 수 있다고 하기 어려운 이유도 있고, 당일 연구비 신청서의 빈 칸을 채워넣느라 정신이 없기도 해서, 내용은 도통 따라가지 못했다. 이후 미리 다른 곳에서 했던 세미나를 들었던 이들 등에게서 대략적인 내용, 그리고 아마도 문제가 될 만한 부분들에 대해서 이야기를 들었던 적이 있다.
어쨌든, 예고된 논문은 드디어 오늘, 월요일 아침에 나타났다. 아마도 로마로 떠나기 직전에 업로드했던 모양.
Enhanced N=8 Supersymmetry of ABJM Theory on R(8) and R(8)/Z(2)
(A. Gustavsson, S-J Rey)
ABJM 모델은 고전 장론 수준에서 N=6 초대칭성을 가지고 있는데, 천-시몬즈 레벨의 양자화를 생각하고 진공 모듈라이 공간을 조사하면 C4/Zk가 되기 때문에, 레벨이 1 혹은 2인 경우는 그 모듈라이 공간에서 정의되는 M2브레인 이론이 초대칭성을 전혀 깨지 않을 것이라, 이 장론도 마찬가지로 N=8로 초대칭성이 향상될 것으로 믿어지고 있다. 그런데, 정상적인 장론으로 보면 아무리 쳐다봐도 초대칭성이 늘어날 이유는 보이지 않는다!
이 중요한 문제는 ABJM의 원래 논문에서도 물론 고려되었는데, U(1)*U(1)만 생각하면 간단하게 볼 수 있는 것이 2+1차원에서 벡터장이 스칼라장에 듀얼인 것을 이용해서 자기홀극 연산자를 만들면 N=8 다중항을 만들 수 있다는 것이다. 다만, 이것을 비가환군의 경우까지 확장하는 것이 어려운 부분.
이 논문의 기본적인 자세는 약간은 bottom-up이다. 문제를 해결하는 데 결정적인 역할을 할 모종의 자기홀극 연산자가 있다고 믿고, 그에 의해서 초대칭적 이론이 어떻게 쓰여질지 찾는다. 적어도 내가 보기에는 갑자기 답을 써버리는데, 3-대수에 대해서 원래 스칼라장, 스피노어 장들은 하나의 첨자를 가지고 게이지장은 반대칭인 두 개의 첨자를 가지는데, 저자들은 대칭인 두 개의 첨자를 가지는 자기홀극 연산자를 사용하면 초대칭성이 증가하는 이론을 만들 수 있다는 것을 보인다.
좀 더 구체적으로 말하면, BLG이론으로부터 우선 출발해서 - 임의의 3-대수를 고려 - SO(8)의 삼중 대응성을 이용하여 원래의 BLG이론과는 다르게 스칼라를 SO(8)의 스피노어가 되도록, 3차원 스피노어를 SO(8)의 켤레 스피노어가 되도록 만든 다음, 이것을 인위적으로 SU(4)*U(1)대칭성에 의해서 분리한다. 그러면, 이 이론의 라그랑지안은 ABJM과 동일한 부분과 여분의 부분으로 나뉘게 된다. 중요한 기술적인 포인트는 아마도, 정확히 k=1,2인 경우만 자기홀극 연산자가 - 디랙 스트링이 양자화 조건을 만족하면 관찰할 수 없게 되는 것과 마찬가지 이유로 - 국소 연산자가 되며, 초대칭성의 향상에 필요한 여러 가지 항등식을 만족한다는 것을 보인 것이다. 이 질문에 답하지 못한다면, 멤브레인 숫자의 3/2제곱에 비례하여 엔트로피가 커진다는 유명한 수수께끼에 대해 언급한 2절의 마지막 부분은 "오래된 난제에 대한 무리한 해답"이라고 해야할지도 모른다.
하지만 자기홀극 연산자를 직접 원래의 ABJM이론의 장들로 가지고 써내지 못하고 추상적으로 도입한 점은 이 일이 완벽한 마침표가 될 수 없는 심각한 결점으로 보인다. 이것이 over-counting이 아니라는 것을 - 물론 답은 맞을 것이라 생각되지만 - 어떻게 알 수 있는지도 의문이다.
어쨌든, 예고된 논문은 드디어 오늘, 월요일 아침에 나타났다. 아마도 로마로 떠나기 직전에 업로드했던 모양.
Enhanced N=8 Supersymmetry of ABJM Theory on R(8) and R(8)/Z(2)
(A. Gustavsson, S-J Rey)
ABJM 모델은 고전 장론 수준에서 N=6 초대칭성을 가지고 있는데, 천-시몬즈 레벨의 양자화를 생각하고 진공 모듈라이 공간을 조사하면 C4/Zk가 되기 때문에, 레벨이 1 혹은 2인 경우는 그 모듈라이 공간에서 정의되는 M2브레인 이론이 초대칭성을 전혀 깨지 않을 것이라, 이 장론도 마찬가지로 N=8로 초대칭성이 향상될 것으로 믿어지고 있다. 그런데, 정상적인 장론으로 보면 아무리 쳐다봐도 초대칭성이 늘어날 이유는 보이지 않는다!
이 중요한 문제는 ABJM의 원래 논문에서도 물론 고려되었는데, U(1)*U(1)만 생각하면 간단하게 볼 수 있는 것이 2+1차원에서 벡터장이 스칼라장에 듀얼인 것을 이용해서 자기홀극 연산자를 만들면 N=8 다중항을 만들 수 있다는 것이다. 다만, 이것을 비가환군의 경우까지 확장하는 것이 어려운 부분.
이 논문의 기본적인 자세는 약간은 bottom-up이다. 문제를 해결하는 데 결정적인 역할을 할 모종의 자기홀극 연산자가 있다고 믿고, 그에 의해서 초대칭적 이론이 어떻게 쓰여질지 찾는다. 적어도 내가 보기에는 갑자기 답을 써버리는데, 3-대수에 대해서 원래 스칼라장, 스피노어 장들은 하나의 첨자를 가지고 게이지장은 반대칭인 두 개의 첨자를 가지는데, 저자들은 대칭인 두 개의 첨자를 가지는 자기홀극 연산자를 사용하면 초대칭성이 증가하는 이론을 만들 수 있다는 것을 보인다.
좀 더 구체적으로 말하면, BLG이론으로부터 우선 출발해서 - 임의의 3-대수를 고려 - SO(8)의 삼중 대응성을 이용하여 원래의 BLG이론과는 다르게 스칼라를 SO(8)의 스피노어가 되도록, 3차원 스피노어를 SO(8)의 켤레 스피노어가 되도록 만든 다음, 이것을 인위적으로 SU(4)*U(1)대칭성에 의해서 분리한다. 그러면, 이 이론의 라그랑지안은 ABJM과 동일한 부분과 여분의 부분으로 나뉘게 된다. 중요한 기술적인 포인트는 아마도, 정확히 k=1,2인 경우만 자기홀극 연산자가 - 디랙 스트링이 양자화 조건을 만족하면 관찰할 수 없게 되는 것과 마찬가지 이유로 - 국소 연산자가 되며, 초대칭성의 향상에 필요한 여러 가지 항등식을 만족한다는 것을 보인 것이다. 이 질문에 답하지 못한다면, 멤브레인 숫자의 3/2제곱에 비례하여 엔트로피가 커진다는 유명한 수수께끼에 대해 언급한 2절의 마지막 부분은 "오래된 난제에 대한 무리한 해답"이라고 해야할지도 모른다.
하지만 자기홀극 연산자를 직접 원래의 ABJM이론의 장들로 가지고 써내지 못하고 추상적으로 도입한 점은 이 일이 완벽한 마침표가 될 수 없는 심각한 결점으로 보인다. 이것이 over-counting이 아니라는 것을 - 물론 답은 맞을 것이라 생각되지만 - 어떻게 알 수 있는지도 의문이다.
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