끈과 브레인

BL의 열기가 드디어 프린스턴까지.

목요일에 떴던 고미-밀라네지-루소 논문을 보고 부랴부랴 밤을 새워 썼음에 분명한 논문이 프린스턴에서 나왔다. 이번에는 허먼 벌린데가 중심. 1988년 우트레히트 대학에서 박사학위. 지도교수는 99년에 노벨상을 받게 되는 트후프트. 지금까지 100회이상 인용된 논문이 무려 19편이나 되는 거물. 쌍동이 형제인 에릭과 같이 한 일이 많지만 '벌린데 공식'으로 유명한 2차원 등각장론의 퓨전에 대한 일은 에릭의 단독논문임에 유의할 것. 어쨌든 이 형제들은 2000년 경에는 미국과 유럽, '가고 싶은 대학은 어디나 갈 수 있다'고 해도 과언이 아닐 정도로 전설적인 존재였다.

이 논문에서는 BL이론이 필요로 하는 '근본 항등식'을 만족시키는 다양한 대수구조를 찾기 위해서 역시 길이가 음인 원소가 있는 경우를, 고미 등의 논문보다 좀 더 구체적으로 다루었다. 임의의 리 그룹 G를 이용할 수 있는데, Inonu-Wigner 축약이라는 과정을 통하면 non-compact인 발생자가 생긴 대수구조를 얻을 수 있다. 혼동하기 쉬운 과정이지만, 원래 리 대수 G의 차원을 d라고 할 때 축약의 결과로 얻는 대수구조의 메트릭은 (d+2)차원에서 정의되며 널 방향 두개와 나머지 보통의 공간 방향 d개를 가진다. 첨자가 4개 달린 구조상수는 +abc, -abc 방향만 남고 이 3-텐서가 바로 원래의 리 대수 G의 구조상수와 일치하게 된다. 주의할 점은 원래 천-시몬즈 항에 있는 게이지 장이 단순한 축약이 아니라 구조상수를 매개로 해서 축약되어 있기 때문에, 게이지 장은 2d개가 얻어지며, 천-시몬즈 항은 이제 더이상 천-시몬즈가 아니라 이른바 BF이론이라고 부르는 이론이 되는 것이 명백해진다는 것이다. 참고로, 3차원에서 보통 천-시몬즈 항이라고 하면 게이지 커넥션을 A, 커버쳐를 F=dA라고 할 때 액션이 AdA로 적히는 경우를 말하는데, 만약 커넥션 B가 하나 더 있어서 액션이 BdA=BF로 써지는 경우는 BF이론이라고 부른다. 오리지널 BL에서 분명히 암시되었던 사항이지만 그때는 게이지 대칭성이 SO(4)=SU(2)*SU(2)였기 때문에 결국은 BF 타입이 아니라 SU(2) 두 개로 나뉘어졌지만 일반적인 경우 BF 타입임이 분명해진 것.

고미 등도 이미 이야기했지만 유니터리성에 문제가 없을 것이라는 예측도 좀 더 자세히 설명해 놓았다. 단지, 이 방향으로의 일반화가 임의의 리 그룹을 사용할 수 있다는 것이 분명하다면, 얻고자 하는 중요한 성질인 '3/2승으로 늘어나는 자유도'라는 것은 이제 포기하고 마는 것일까?  

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